AAR - Feuilletages - Quantification géométrique
Publication originale : Feuilletages - Quantification géométrique
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Feuilletages - Quantification géométrique
- Résumés -

 RESUMES DES DIFFERENTES INTERVENTIONS

        Daniel BENNEQUIN              Exemples de dualités

       L'unification des théories de super-cordes a permis d'émettre de nouvelles hypothèses sur la géométrie de la quantification des champs. Des feuilletages lagrangiens y jouent un rôle important comme pour la symétrie miroir ou la théorie de Seiberg-Witten. L'exposé cherchera à faire une introduction à ce sujet.

 

       Patrick FOULON                      Feuilletages et structures à l'infini

       L'étude des systèmes dynamiques hyperboliques qui sont très chaotiques fait apparaître différents feuilletages "stables, instables, ." qui décrivent le comportement asymptotique. Ces feuilletages sont en général très peu réguliers bien que les feuilles soient assez lisses. Nous verrons quelque beaux résultats de rigidité. Au passage nous rencontrerons quelques utilisations des structures feuilletées.

 

       Bertram KOSTANT                 Geometric Quantization and Representation Theory

A major feature of quantum mechanics, as developed in the 1920s, was some sort of process of converting a function f(p1, . . . , pn, q1, . . . , qn) on phase space R2n into a differential operator Ff (i∂/∂q1, . . . i∂/∂qn, q1, . . . , qn) on configuration space Rn. Physically f was a classsical observable and Ff was its quantum mechanical counterpart. A classical state is a point in phase space and a quantum mechanical state is a function on a space of half the dimension. Mathematically, there seemed to be no rigorous way of understanding this process. An important development in harmonic analysis in the 1960s was the discovery of different methods of constructing irreducible unitary representations for various kinds of groups

(1) For compact groups - Borel-Weil theorem

(2) For nilpotent Lie groups - Kirillov's orbit method

(3) For generic representations of semisimple Lie groups - Harish-Chandra and Gelfand's theory of parabolic induction

(4) For semidirect products - Mackey theory

What I (and independently Jean-Marie Souriau) discovered in the middle 1960s was the development of a theory - later called geometric quantization - of quantizing certain functions on a symplectic manifold ("phase space") and to show that the 4 constructions above were manifestations of geometric quantization. As an application L. Auslander and I determined the unitary dual of type 1 solvable Lie groups as well as characterizing type 1-ness. The phase space was an integral coadjoint orbit X. A key point to understand is that the KKS symplectic form  is to be understood as curvature. That is

 = curv (L, )

where (L, ) is a line bundle with connection on X. Here a strong motivation in the 1960s was Hirzebruch's Riemann-Roch theory). Next, smooth functions on X operate on sections of L via a construction which I called prequantization. The "dividing of X in half" was accomplished by what I called polarization. Finally, a Hilbert space structure on suitable sections of L was given by the introduction of a half-form. The Lie algebra of the group operates on the Hilbert space since the Lie algebra naturally injects into the space of smooth functions on the coadjoint orbit. Exponentiation to the group follows easily.

 

           Rémi LANGEVIN             Cyclides de Dupin et propriétés conformes des feuilletages des variétés    de dimension 3

           Les cyclides de Dupin sont des tores qui sont de deux manières différentes enveloppes d'une famille à un paramètre de sphères. Cette condition  implique qu'une cyclide est l'image par une transformation conforme de l'espace d'un tore de révolution.  Une condition locale, invariante par transformation conforme, assure qu'une surface est un morceau de cyclide. Nous pouvons imposer cette condition aux feuilles d'un feuilletage de R3, S3, H3 ou d'un quotient de ces variétés de courbure constante. Bien que la condition soit moins contraignante que d'imposer aux feuilles d'être totalement ombilicales,  les feuilletages à feuilles "Dupin" sont assez rares.

 

           Paulette LIBERMANN               Feuilletages sur les variétés de contact.     Groupoïdes de contact

          On définit la notion de"pseudo-orthogonalité" sur une variété M munie d'une forme de contact ainsi que celle de feuilletage -complet. La situation est plus complexe que pour les feuilletages sur une variété symplectique.

         On introduit la notion de "groupoïde de contact". D'autre part, on associe à tout groupoïde M muni d'une forme de contact  une structure de groupoïde sur la symplectifiée   de M . On démontre alors que M est un "groupoïde de contact" si et seulement si  est un groupoïde symplectique.

 

         Charles-Michel MARLE           De la mécanique classique à la mécanique quantique : pourquoi et comment quantifier?

         Après un rappel des origines de la mécanique quantique, on indique comment l'interprétation des prévisions de cette théorie et le processus de mesure mettent en jeu à la fois des systèmes classiques et quantiques, et rendent nécessaire l'emploi d'un procédé de quantification.

        On présente le procédé employé dès l'origine, appelé quantification canonique formelle. Ce procédé donne des résultats satisfaisants lorsqu'on l'applique à des systèmes assez simples, mais conduit à des difficultés et des ambiguïtés dans les cas plus complexes. La quantification géométrique, essentiellement due à B.Kostant et J-M.Souriau, permet de construire un procédé de quantification sur des bases mathématiques rigoureuses. On en indique les grandes lignes, au titre d'introduction aux exposés plus approfondis que feront les professeurs B.Kostant et J-M Souriau.

 

        Jean PRADINES      Feuilletages et groupoïdes de Lie

       On sait que la structure transverse d'un feuilletage régulier est caractérisée par une classe d'équivalence de Morita de groupoïdes de Lie, laquelle contient le groupoïde d'holonomie d'Ehresmann (ou "graphe" du feuilletage) ainsi que les pseudogroupes d'holonomie attachés aux variétés transversales totales, et qui ne dépend que de la classe de F-équivalence du feuilletage (au sens de Molino).

       On se propose d'explorer plus généralement la relation non univoque entre un groupoïde de Lie et le feuilletage singulier au sens de Stefan qu'il détermine sur sa base. Ceci amène à élargir l'équivalence de Morita et fait apparaître des liens subtils entre groupes d'isotropie discrets et continus, attachés aux points de l'espace des feuilles ("espace transverse").

      Ces notions seront introduites d'une façon diagrammatique permettant des lectures dans différents contextes (topologiques ou différentiables).

 

      Jean-Marie SOURIAU    Quantique ? Alors c'est Géométrique.

  Comme toute géométrie, ça doit donc commencer avec des groupes. Choisissons un groupe G, et définissons ses "états" par la règle suivante :

m est un état de G si :

m est une fonction complexe définie sur le groupe G

m (neutre) = 1

Si on choisit des gj dans G et des cj complexes, alors :

Alors :

.     Les états d'un groupe constituent un convexe compact, engendré par ses points extrémaux (les "états purs"). Conjugués et produits d'états sont des états.

.     Tout état m engendre un espace de Hilbert H m , automatiquement complet, et une représentation unitaire r m de G sur H m . Elle est irréductible si et seulement si m est pur1.

      La probabilisation d'un ensemble X peut s'obtenir en choisissant un groupe multiplicatif G , constitué de fonctions de module 1 sur X (la théorie de l'intégration n'est plus requise ni pertinente). Les "certitudes" engendrent un convexe d'états de G , qui généralisent les variables aléatoires classiques. Par exemple des états qui apparaissent comme équipartis sur un réseau de R n.

     La quantification géométrique d'un objet physique utilise un groupe "difféologique"G et une "orbite coadjointe" de G (interprétée comme espace symplectique des mouvements classiquesde l'objet).

     La procédure associe à cette orbite une famille d'états de G, dits états quantiques.

    Les "observations" à la Dirac sont associées à des sous-groupes commutatifs de G.

     Elles associent des réponses probabilistes à chaque état quantique ; des relations d'incertitude étendues sont impliquées par la géométrie2.

     Si G est le groupe de Galilée ou le groupe de Poincaré, la recherche des états quantiques purs produit les équations d'onde classiques des particules élémentaires. Mais il y a aussi des états "impurs" pour ces particules, par exemple ceux de la thermodynamique.

     Pour un système de particules identiques, l'échange de deux particules appartient au groupe, et les états quantiques y prennent la valeur ±1 : caractérisation des bosons ou fermions.

     Programme suggéré : utiliser de tels modèles en chimie quantique.

________________________

1 Toutes les représentations irréductibles de tous les groupes s'obtiennent ainsi.

2 Exemple dû à François Ziegler : si l'impulsion d'une particule libre est certaine, sa position est équipartie dans l'espace.

 

          Alan WEINSTEIN           Integrating the nonintegrable

          Although every finite dimensional Lie algebra is integrable to a Lie group, the same is not true for Banach Lie groups, nor for Lie algebroids (to Lie groupoids). We will discuss generalizations of the notion of smooth manifold which permit integrability in all these cases.

 

          Abdelghani ZEGHIB          Feuilletages par droites

         Les familles de droites, dans le plan ou l'espace (ou de plans dans l'espace), dépendant (d'un certain nombre) de paramètres, ont fait l'objet d'abondantes études à travers l'histoire. La notion de feuilletage, i.e. non-intersection des droites de la famille, n'a pas été (implicitement) dégagée à cette occasion, probablement se rendant compte de la difficulté de la réalisation d'une telle possibilité. L'étude a été plus menée du côté singularité de la famille, ce qui a donné naissance aux notions de développante et développé.Le terme " congruence " a cependant existé dans le passé, et aurait pu être choisi, comme terme alternatif du terme moderne " feuilletage ", car il a la même essence. On peut citer parmi les anciens auteurs sur le sujet, Monge et Jacobi. Ce dernier s'est posé un problème d'équations aux dérivées partielles non-linéaires, qui n'a été résolu que récemment, en montrant en particulier son lien avec les feuilletages par droites. Parmi les solutions alternatives, il y a une approche probabiliste. Au fait, à l'opposé des feuilletages, les droites aléatoires ont également leur intérêt.  On fera le point sur ces questions, notamment, à l'aide d'un formalisme moderne.








Dernière mise à jour le 29/06/2016
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